La Catenaria

Catenaria es la curva que describe una cadena suspendida por sus extremos, sometida a un campo gravitatorio uniforme. La palabra deriva del latín catenarĭus (propio de la cadena). Por extensión, en matemáticas se denomina catenaria a la curva que adopta una cadena, cuerda o cable ideal perfectamente flexible, con masa distribuida uniformemente por unidad de longitud, suspendida por sus extremos y sometida a la acción de un campo gravitatorio uniforme. La evoluta de la catenaria es la tractriz. En general la ecuación de la catenaria se refiere a cadenas o cuerdas infinitamente flexibles e inextensibles. El requisito de flexibilidad infinita se refiere a que la rigidez flexionalsea nula y el requisito de inextensibilidad se refiere a que la longitud de cada tramo de la misma no varíe a pesar de estar sometido a fuerzas. Obviamente en las cuerdas reales estos requisitos se cumplen sólo de forma aproximada. Para cuerdas de gran longitud, la elasticidad de la cuerda las aleja del comportamiento perfectamente inextensible. Si bien la catenaria de una cuerda inextensible es siempre una curva plana, para cables gruesos de pequeña longitud la rigidez flexional finita hace que su deformada no neceariamente esté contenida en un plano. Dado un elemento lineal sometido sólo a cargas verticales, la forma catenaria es precisamente la forma del eje baricéntrico que minimiza las tensiones. Esa propiedad puede aprovecharse para el diseño de arcos. De este modo un arco en forma de catenaria invertida es precisamente la forma en la que se evita la aparición de esfuerzos distintos de los de compresión, como son los esfuerzos cortantes o los flectores.

Por esa razón, una curva catenaria invertida es un trazado útil para un arco en la arquitectura, forma que fue aplicada, entre otros y fundamentalmente, por Antoni Gaudí.

¿Que diferencia hay entre una catenaria y una parabola?

Una catenaria es la curva que forma un cable, cuerda o cadena cuando se sujeta por sus ectremos y sólo actúa sobre ella su propio peso. Su diferencia con una parábola (sección de un cono de revolución).

en el siglo XVII, fueron los hermanos Bernouilli, Leibniz y Huygens (a los 17 añitos) demostraron que no son lo mismo. La parábola tiene la siguiente ecuación matemática: y=ax2 + bx + c, mientras que para la catenaria: y=a cosh (x/a), siendo a una constante que depende del peso y la tensión horizontal. El coseno hiperbólico se puede desarrollar según Taylor como 1+x2/2+un término de cuarto orden. Ese término es el que diferencia ambas curvas. 

No sé como lo veis pero a mí me parece un ejemplo muy ilustrativo de cómo la matemática (parábola) intenta imitar a la naturaleza (catenaria). En esta ocasión casi lo logra. Gaudí, amante de la naturaleza, utiliza las catenarias (invertidas para construir arcos), en lugar de parábolas para darle a sus construcciones un toque más… natural.